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Transcripción

1 V^{ æ Í K Ù^{ ^bæ} : æ ˆ c ã* [ } [ { ^c /æë Semejanza de figuras y triángulos. El radián. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Relaciones trigonométricas fundamentales. Razones trigonométricas de cualquier ángulo. Resolución de triángulos rectángulos. Funciones trigonométricas. 5.. Semejanza de figuras y triángulos. Dos triángulos ABC y A B C son semejantes si " " " o bien si los tres ángulos son iguales. Teorema de Thales: Si tenemos dos triángulos en posición de Thales, son semejantes. Por tanto, en los triángulos de la imagen se cumple que " " " " " Teorema del cateto: utilizando el teorema de Thales para un triángulo rectángulo, se tiene que: Teorema de la altura: utilizando el teorema de Thales para un triángulo rectángulo, se tiene que: 5.. El radián. A veces es mejor usar una medida diferente a los grados sexagesimales para medir ángulos. Un radián es el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de igual longitud que el radio de la misma. Por tanto, 80 π rad, y con esto podemos deducir el resto de ángulos. Aproximadamente, un radián es Si representamos los ángulos en una circunferencia, tendremos lo siguiente (recuerda que 0 60 ):

2 Como ves, los ángulos van en el sentido contrario a las agujas del reloj. Además, un ángulo mayor de 60 (o 𝜋 rad) coincide con uno menor de 60 (basta con dar más vueltas ). 5.. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. a b 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑏 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜 𝑐 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑎 𝑡𝑔 𝛼 c 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑐 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 𝑡𝑔 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑏 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜 𝑐 Por tanto, las razones de algunos ángulos conocidos serán: 0 (0) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 0 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑡𝑔 𝛼 0 0 𝜋/6 45 𝜋/4 60 𝜋/ 90 𝜋/ 80 𝜋 70 𝜋/ Representación gráfica de las razones de un ángulo agudo en una circunferencia goniométrica (radio ): 5.4. Relaciones trigonométricas fundamentales. 𝑡𝑔 𝛼 "# "# 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑡𝑔 𝛼 𝑠𝑒𝑐 𝛼

3 5.5. Razones trigonométricas de cualquier ángulo. Podemos generalizar las razones trigonométricas en una circunferencia goniométrica: el segmento vertical es la seno y el horizontal es el coseno. Así quedarían los signos en cada caso: seno coseno Las relaciones entre las razones de ciertos ángulos son: Ángulos complementarios tangente Ángulos opuestos Ángulos suplementarios Ángulos que se diferencian en Resolución de triángulos rectángulos. Resolver un triángulo consiste en conocer cuánto miden sus lados y sus ángulos. Recuerda que la suma de los tres ángulos siempre es 80. En el caso de los triángulos rectángulos, podemos usar el teorema de Pitágoras cuando se pueda, pero ahora también podemos usar las definiciones de las razones trigonométricas y el valor de estas (ya sea de forma exacta o con la calculadora), así como las inversas de las razones trigonométricas: Dado un número n, 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑛) es aquel ángulo cuyo seno es n. Por ejemplo, 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 o bien 𝜋/6. De igual modo se definen 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑛) o 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑛). En las calculadoras a veces lo encontrarás como 𝑠𝑖𝑛, 𝑐𝑜𝑠 o 𝑡𝑎𝑛. Además, hay un par de teoremas que podemos utilizar: Teorema del seno: Teorema del coseno: 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑏 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴 (y las otras dos combinaciones) "#$ "#$ "# 5.7. Funciones trigonométricas. Podemos asignar a cada ángulo su seno, coseno o tangente, obteniendo así las funciones 𝑠𝑒𝑛(𝑥), cos (𝑥) y tan (𝑥), que son funciones periódicas:

4 Si hacemos zoom para ver los puntos de corte: sen(x) se anula en los múltiplos π cos(x) se anula en los múltiplos impares de π/ tg(x) se anula donde se anula sen(x) y no existe donde se anula cos(x) Ejercicios. Cuántos grados tiene un radián? Cuántos radianes hay en 60?. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dado en radianes: a. π/ b. π c. π/6 d. π/. Expresa en radianes los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: a. 0 b. 0 c. 0 d. 5 e. 5 g En una circunferencia de radio cm, un arco mide cm. Halla el ángulo central correspondiente en radianes y grados. 5. En un triángulo rectángulo ABC de catetos b 4 cm y c cm, calcula el seno, coseno y tangente del ángulo B.

5 6. Determina el ángulo correspondiente en casa caso, utilizando la calculadora: a. 𝑠𝑒𝑛 𝐴 c. cos 𝐶 0 50 b. 𝑡𝑔 𝐵 459 d. cos 𝐷 Calcula el resto de razones trigonométricas sabiendo que 𝛼 es agudo y el siguiente dato: a. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 /5 c. 𝑡𝑔 𝛼 b. cos 𝛼 / d. sec 𝛼 5/ 8. Sabiendo que cos 𝛼 y que 𝜋/ < 𝛼 < 𝜋, calcula el resto de razones trigonométricas (puedes usar calculadora). 9. Sabiendo que sen 𝛼 0 6 y que 𝜋 < 𝛼 < 𝜋/, calcula el resto de razones trigonométricas (puedes usar calculadora). 0. Completa la siguiente tabla sabiendo que 𝛼 es agudo (puedes usar la calculadora): 𝑠𝑒𝑛 𝛼 /5 𝑐𝑜𝑠 𝛼 0 8 𝑡𝑔 𝛼 5 5/. Sabiendo que sen 𝛼 y que 𝛼 está en el cuarto cuadrante, calcula el resto de razones trigonométricas (sin calculadora).. Sabiendo que tg 𝛼 y que 𝛼 está en el tercer cuadrante, calcula el resto de razones trigonométricas (sin calculadora).. Da los valores de las siguientes razones trigonométricas sin utilizar calculadora, sólo teniendo en cuenta las razones de ángulos conocidos.. cos. cos. sen 0. sen. tg cos 0 tg π cosec 0 sen π tg 0 cotg 5 sec 40 " tg cos 0 tg 50 cos 5π cos 6. tg( 80 ) 7. sen 0 " 8. cosec 9. g( 60 ) 0. cos π ". cos 4. tg " 5. sen 6. sen ( 70 ) " 7. cos cos 5 sen(5 ) sec 0 sen 90 " cos. sen 4. tg " " sen 5 cos 0 sen 5 cos ( 0) tg 45 cotg 0 cotg 0 4. sec 4. sec " " 44. cotg sen 50 " 46. cos 47. tg " 48. sen 7π 49. cotg π 50. sen 5. tg tg( 80 ) " 5. sen 54. sen cos ( 90 ) " 56. tg 57. tg

6 4. Simplifica las siguientes expresiones lo máximo posible: a. b. c. d. "# "# "# " "# " "# "# "#$ "# "#$ "# "# "# "#$ "" " "# " "# "# "# "# "# e. " "# "# f. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 "# 5. En un triángulo rectángulo, 𝑐 y 𝑐𝑜𝑠𝐵 /. Calcula 𝑏, 𝑎 y 𝑠𝑒𝑛 𝐵. Usa la calculadora para calcular el valor de los ángulos B y C. 6. En un triángulo rectángulo, 𝑏 8 y 𝑐 6. Calcula el seno, coseno y tangente de los ángulos B y C. Usa calculadora para calcular el valor de los ángulos B y C. 7. Para conocer la altura de un árbol nos colocamos a metros del árbol y observamos la parte superior con un ángulo de. Cuánto mide el árbol? 8. Queremos colocar una escalera de 5 m de longitud para subir a un muro de 4 metros de altura. A qué distancia del muro tendremos que colocar el pie de la escalera para poder llegar? Qué ángulo forma la escalera con el suelo? 9. La base de un triángulo isósceles mide 5 cm y el ángulo opuesto 0. Calcula los lados y su área. 0. Si las ramas de un compás miden cm cada una y forman un ángulo de 45, cuál es el radio de la circunferencia que podemos dibujar? Halla el área del círculo dibujado.. Desde el lugar donde me encuentro la visual al punto más alto de una torre forma un ángulo de º con la horizontal. Si me acerco 5 metros el ángulo es de 50º Cuál es la altura de la torre? A qué distancia de la torre me encontraba al principio?. a) Determina el área de un pentágono que está inscrito en una circunferencia de radio 8 cm. b) El lado de un octógono inscrito en una circunferencia mide 6 cm. Halla su área.. Para medir la altura de una montaña hallamos el ángulo que forma la visual al punto más alto con la horizontal, obteniendo 5º. Nos alejamos 75 m y ahora el nuevo ángulo es de 7º. Cuanto mide la altura de la montaña? 4. Dos edificios distan entre sí 50m. Desde un punto que está entre los dos edificios, vemos que las visuales a sus puntos más altos forman con el suelo ángulos de 5 y 0 respectivamente. Cuál es la altura de los edificios si sabemos que los dos miden lo msimo? 5. Una escalera de bomberos de 0 metros de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45 y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 0. Halla la anchura de la calle. Qué altura alcanza la escalera sobre cada una de las fachadas? 6. Dos individuos A y B observan un globo que está situado en un plano vertical que pasa por ellos. La distancia entre los individuos es de 4 km. Los ángulos de elevación del globo desde los observadores son 46 y 5, respectivamente. Halla la altura del globo y su distancia a cada observador. 6